Números primos: Marin Mersenne

Un número primo es un número que sólo puede dividirse por él mismo y por 1. La definición de este tipo de números es muy sencilla, y es sencillo encontrarlos si no son demasiado grandes. Pero en la práctica cuando pasamos de un cierto número de cifras la cosa se complica.

Desde que Euclides demostró que hay infinitos números primos los matemáticos más destacados de todas las épocas históricas han intentado encontrar una fórmula que generara número primos, sin conseguirlo de manera satisfactoria.

Pierre Fermat (jurista y genial matemático frances a quien dedicaré un post más adelante) fue uno de los que, al menos para él, se acercó a una tal fórmula. Pero por desgracia estaba equivocado. Fermat postuló (no lo demostró, como era costumbre en él) que la fórmula 2²ⁿ+1 (que nos proporciona los llamados números de Fermat) generaba números primos para todo n número natural. Nada más lejos de la realidad. Cierto es que para n=1 obtenemos el 5, que es primo; para n=2 obtenemos el 17, también primo; si n=3 tenemos el 257, primo; y si n=4 obtenemos el 65537, que resulta ser primo como los anteriores. Fermat se quedó ahí y no intentó comprobarlo para los siguientes. Craso error. En 1732 Leonhard Euler (probablemente merezca otro post) demostró que para n=5, el correspondiente número de Fermat no es primo, sino que es compuesto:



(Imagen sacada de Wikipedia).

Hasta ahora no se ha encontrado ningún número de Fermat más grande que éste que sea primo.

Pero en esa misma época (siglo XVII) vivió un personaje llamado Marin Mersenne. Su actividad principal no eran las matemáticas (se interesó más por la filosofía, la teología, la música...), pero nos dejó para la posteridad una fórmula con la que afrontar la búsqueda de números primos que, aún sin ser infalible, da muchísimo más juego que la de Fermat. La fórmula es 2ⁿ-1. Veamos algunos ejemplos:

n=2 --> 3 primo
n=3 --> 7 primo
n=4 --> 16 no primo
n=5 --> 31 primo
n=6 --> 63 no primo

Podemos ver como, efectivamente, esta fórmula no es infalible. Pero digo que da mucho más juego que la Fermat porque se han podido calcular primos muchísimo mas grandes que los que da esa fórmula con la de Mersenne. Algunos ejemplos son 2147483647, para n=31 (encontrado por Euler)o 2305843009213693951, para n=61 (encontrado por Pervushin). Con n más grande podemos demostrar que si n=1279 obtenemos un número primo que tiene 386 cifras; para n=21701 obtenemos otro número primo, esta vez con 6533 cifras; para n=1,398,269 obtenemos otro primo con la nada despreciable cantidad de 420,921 cifras; y si continuamos llegamos al que hasta el momento es el primo de Mersenne más grande que se conoce, el que hace el número 42 salido de esta fórmula: en este caso n=25,964,951 y el número tiene

7,816,230 cifras

Realmente un número enorme. Este primo de Mersenne (como los 7 anteriores a él que se conocen) han sido descubiertos con el grupo GIMPS con la ayuda de programas informáticos sofisticados.

Pero en realidad no harían falta. Existe una fórmula infalible para comprobar si un número dado es primo o no: calculamos la raíz cuadrada del número en cuestión y dividimos el número por todos los primos que sean menores que esa raíz cuadrada. Si el número no es divisible por ninguno de ellos es primo, y si es divisible por alguno de ellos entonces será compuesto. El problema de esto es que para hacer esto con números grandes necesitaríamos conocer todos esos primos, cosa que no se sabe, y además necesitariamos una cantidad de tiempo tan grande que no creo que viviéramos para hacerlo :P.

Sobre números primos hay muchas más cosas que contar, pero quiero terminar con algunas conjeturas de las que todavía no se sabe la respuesta: existencia de infinitas parejas de números primos gemelos (primos que se diferencian en 2 unidades); la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que 4 es suma de 2 primos); o decidir si la sucesión de Fibonacci contiene o no infinitos números primos. Si alguien tiene alguna demostración de la veracidad o falsedad de alguna de ellas le recomiendo que la haga pública, probablemente se lleve un buen premio en metálico.


Seguro que el post se queda algo corto en algunas partes y demasiado largo en otras. Espero críticas constructivas para aplicarlas a sucesivos posts de este tipo, y también espero que os haya gustado.